Herhangi bir üçgende yüksekliklerin bir noktada kesiştiğini (noktadaş) gösteriniz.
Kanıt:
Öncelikle $ABC$ üçgenimizin
$BC$ kenarına paralel ve $A$ noktasından geçen, $AC$ kenarına paralel ve $B$ noktasından geçen, $AB$ kenarına paralel ve $C$ noktasından geçen doğruları çizelim. Bu doğruların kesiştikleri noktalara $K$, $L$, $M$ diyelim.
Yukarıdaki görsele dikkat edilirse; $ABCL$, $AKBC$ ve $ABMC$ ‘nin paralelkenar olduğu görülür. Paralelkenarda karşılıklı kenarlar eşit olduğu için $\left |BC \right | = \left |AL \right | = \left |AK \right |$, $\left |AC \right | = \left |KB \right | = \left |BM \right |$, $\left |AB \right | = \left |LC \right | = \left |CM \right |$ sonucuna ulaşılır.
$A$, $B$, $C$ noktalarından bulundukları kenarlara dik doğrular çizdiğimiz takdirde bu dik doğrular kenar orta dikmeler olup, $O$ noktasında kesişir. Diğer bir ifadeyle $O$ noktası $KLM$ üçgeninin çevrel çemberinin merkezidir.
Şimdi de $OA$, $OB$ ve $OC$ doğru parçalarını karşı kenarlarına doğru doğrusallığı bozmadan uzatalım:
Bu durumda
$$BC // KL \Rightarrow AF\perp BC$$ $$AB // ML \Rightarrow BE\perp AC$$ $$AC // KM \Rightarrow CD\perp AB$$
olduğu görülür. Bu da bize ABC üçgeninin yüksekliklerinin bir noktada, $O$ noktasında kesiştiğini gösterir. Bu noktaya da diklik merkezi denir.
Dikkat edilirse, $KLM$ üçgeninin çevrel çemberinin merkezi $ABC$ üçgeninin diklik merkezidir.
Biz, dar açılı bir üçgen üzerinde çalıştık. Aynı çalışmayı geniş ve dik açılı üçgen üzerinde yapsaydık yine aynı sonuca ulaşırdık.
NOT:
Dar açılı bir üçgende diklik merkezi, üçgenin iç bölgesindedir.
Dik açılı bir üçgende diklik merkezi, üçgenin dik kesişen kenarların kesiştiği noktadır.
Geniş açılı bir üçgende diklik merkezi, üçgenin dış bölgesindedir.
“Diklik Merkezi” için 6 yanıt