$D$, $E$, $F$ noktalarından geçen çemberin, $ABC$ üçgenini kestiği $X$, $Y$, $Z$ noktalarının kenar orta noktalar ve $K$, $L$, $M$ noktalarının sırasıyla $[AH]$, $[BH]$ ve $[CH]$’ın orta noktaları olduğunu gösteriniz.
Not:
Bu yazıyı okumadan önce aşağıdaki yazıları okumanızı tavsiye ederiz.
1. Diklik Merkezi
2. Ortik Üçgeni
Kanıt:
1.Adım:
Öncelikle $D$, $E$, $F$ noktalarından geçen çemberin $[AH]$, $[BH]$ ve $[CH]$’ın orta noktalarından ($K$, $L$, $M$) geçtiğini gösterelim.
$[DL]$ doğru parçasını çizelim. Aşağıdaki görsele dikkat edilirse; $DLE$ ve $DFE$ aynı yayı gören çevre açılardır. Dolayısıyla $m(\widehat{DLE}) = m(\widehat{DFE}) = 2 \alpha $’dır.
$DLB$ üçgenini baz alırsak, $m(\widehat{DLE}) =2 \alpha $ ve $m(\widehat{DBL}) =\alpha $ olduğuna göre $m(\widehat{BDL}) =\alpha $’dır.
$m(\widehat{BDL}) = m(\widehat{DBL}) =\alpha \quad \Rightarrow \left | DL \right | = \left | BL \right |$’dir.
$DHB$ dik üçgeninde muhteşem üçlü yardımıyla $\left | DL \right | = \left | BL \right | =\left | LH \right |$ olduğu görülür.
Bu da $L$ noktasının, $[BH]$’ın orta noktası olduğunu gösterir.
Benzer şekilde
$[EM]$ doğru parçasını çizersek, $m(\widehat{EMF}) = m(\widehat{EDF}) = 2 \beta $ olduğu görülür.
Gerekli işlemleri yaptığımızda $EHC$ dik üçgeninde muhteşem üçlü yardımıyla $\left | EM \right | = \left | HM \right | =\left | MC \right |$ olduğu görülür.
Bu da $M$ noktasının, $[CH]$’ın orta noktası olduğunu gösterir.
$[EK]$ doğru parçasını çizersek, $m(\widehat{EKD}) = m(\widehat{EFD}) = 2 \alpha $ olduğu görülür.
Gerekli işlemleri yaptığımızda $EHA$ dik üçgeninde muhteşem üçlü yardımıyla $\left | EK \right | = \left | KH \right | =\left | KA \right |$ olduğu görülür.
Bu da $K$ noktasının, $[AH]$’ın orta noktası olduğunu gösterir.
O halde dokuz nokta çemberimizin geçtiği $K$, $L$, $M$ noktaları sırasıyla $[AH]$, $[BH]$ ve $[CH]$’ın orta noktalarıdır.
2.Adım:
Şimdi de dokuz nokta çemberinin geçtiği $X$, $Y$, $Z$ noktalarının bulundukları kenarların orta noktaları olduğunu gösterelim.
$[EY]$’yi çizelim. $DYEF$ kirişler dörtgeni olduğu için $m(\widehat{DFE}) = m(\widehat{DYE}) = 180^{\circ}$’dir.
$\alpha +\beta +\theta =90^{\circ}$ ve $m(\widehat{DFE})=2\alpha$ olduğuna göre $m(\widehat{DYE})=2\beta + 2\theta$’dır.
O halde $m(\widehat{YEC})=m(\widehat{YCE})=\beta + \theta$’dır.
Bu da $\left | EY \right | = \left | YC \right |$ olduğunu gösterir.
$EBC$ dik üçgeninde muhteşem üçlü yardımıyla $\left | EY \right | = \left | YB \right | =\left | YC \right |$ olduğu görülür.
Yani $Y$ noktası, $[BC]$ kenarının orta noktasıdır.
$[DZ]$’yi çizersek, $DZEF$ kirişler dörtgeni yardımıyla benzer mantıkla $m(\widehat{DZE})=2\beta + 2\theta$’dır.
$m(\widehat{ZDC})=\beta + \theta$, $\left | DZ \right | = \left | ZA \right | =\left | ZC \right |$ olduğu görülür.
Yani $Z$ noktası, $[AC]$ kenarının orta noktasıdır.
$[DX]$’i çizersek, $DXEF$ kirişler dörtgeni yardımıyla benzer mantıkla $m(\widehat{DXF})=2\alpha + 2\beta$’dır.
$m(\widehat{ZDC})=\alpha + \beta$, $\left | DX \right | = \left | XA \right | =\left | XB \right |$ olduğu görülür.
Yani $X$ noktası, $[AB]$ kenarının orta noktasıdır.
O halde dokuz nokta çemberimizin geçtiği $X$, $Y$, $Z$ noktaları bulundukları kenarların orta noktalarıdır.
Görüldüğü üzere dokuz nokta çemberi; yükseklik ayaklarından, kenar orta noktalardan ve sırasıyla $[AH]$, $[BH]$ ve $[CH]$’ın orta noktaları olan $K$, $L$, $M$ noktalarından geçer.
NOT: Dokuz Nokta Çemberi, Euler Çemberi veya Feuerbach Çemberi diye de anılır.
————————————————————————————————————————–
Özel durumlar:
1. $ABC$ üçgeni eşkenar üçgen olsaydı ne olurdu?
Eşkenar üçgende yükseklik, kenarortay ve açıortay olduğu için; $F$ noktası ve $X$ noktası, $D$ noktası ve $Y$ noktası, $E$ noktası ve $Z$ noktası çakışıktır.
Yani eşkenar üçgende dokuz nokta çemberi, altı özel noktadan geçer. Hatta dokuz nokta çemberi, eşkenar üçgenin iç teğet çemberine dönüşür.
2. $ABC$ üçgeni ikizkenar dik üçgen olsaydı ne olurdu?
$BA$ yükseklik olduğu için; $E$ noktası, $A$ noktasıyla çakışır.
$CA$ yükseklik olduğu için, $F$ noktası, $A$ noktasıyla çakışır.
$A$ diklik merkezi olduğu için, $K$ noktası, $A$ noktasıyla çakışır.
$X$ noktası, $L$ noktasıyla çakışır.
$Z$ noktası, $M$ noktasıyla çakışır.
$ABC$ ikizkenar dik üçgen olduğu için $[AD]$ yüksekliği aynı zamanda kenarortaydır. Dolayısıyla $Y$ noktası, $D$ noktasıyla çakışır.
Dolayısıyla ikizkenar dik üçgende dokuz nokta çemberi, dört noktadan ($A, L, D, M$) geçer. Eğer dik üçgenimiz ikizkenar olmasaydı, $Y$ noktası $D$ noktasıyla çakışmayacaktı. Bu durumda beş noktadan ($A, L, D, Y, M$) geçecekti.
————————————————————————————————————————–
Dokuz Nokta Çemberinin Yarıçapı:
Şimdi de dokuz nokta çemberinin yarıçap uzunluğunun, $ABC$ üçgeninin çevrel çemberinin yarıçap uzunluğunun yarısı kadar olduğunu gösterelim.
$ABH$ üçgenini baz alırsak, $K$ ve $L$ noktaları orta noktalar olduğu için $KL$ orta taban olup, $KL // AB$’dir.
$HBC$ üçgenini baz alırsak, $L$ ve $M$ noktaları orta noktalar olduğu için $LM$ orta taban olup, $LM // BC$’dir.
$AHC$ üçgenini baz alırsak, $K$ ve $M$ noktaları orta noktalar olduğu için $KM$ orta taban olup, $KM // AC$’dir.
$KL // AB$, $LM // BC$, $KM // AC$ olduğu için $KLM$ ve $ABC$ üçgenleri benzerdir ve benzerlik oranı $1:2$’dir.
Benzer üçgenlerin benzerlik oranı, çevrel çemberlerinin yarıçaplarının oranı olduğu için, $KLM$ üçgeninin çevrel çemberinin (dokuz nokta çemberi) yarıçap uzunluğu, $ABC$ üçgeninin çevrel çemberinin yarıçap uzunluğunun yarısı kadardır.
Sonuç:
$ABC$ üçgeninin diklik merkezi $H$, çevrel çemberinin merkezi $O$ ve dokuz nokta çemberinin merkezi $P$ olsun. $H, P, O$ doğrusal olup, $\left | PO \right |=\left | PH \right |$’dir.
$H$ ve $P$ noktalarından geçen doğruyu çizelim. $P$ dokuz nokta çemberinin merkezi olduğu için $\left | PM \right |=r$, dokuz nokta çemberinin yarıçapıdır.
$[PM]$ doğru parçasını çizip, $C$ noktasından $PM$’ye paralel çizelim ve $d-$ doğrusunu kestiği nokta $O$ olsun.
$M$ noktası, $[HC]$’nin orta noktası olduğu için $\left | HP \right |=\left | PO \right |$’dur. $[PM]$, $HOC$ üçgeninin orta tabanı olup; $\left | PM \right |=r|$ ise, $\left | OC \right |=2r$’dir.
$[PL]$ ve $[OB]$’yi çizersek; $[PL]$, $HBO$ üçgeninin orta tabanı olup, $\left | PL \right |=r$ ise, $\left | OB \right |=2r$’dir.
$[PK]$ ve $[OA]$’yı çizersek; $[PK]$, $HAO$ üçgeninin orta tabanı olup, $\left | PK \right |=r$ ise, $\left | OA \right |=2r$’dir.
$\left | OC \right |=\left | OB \right |=\left | OA \right |=2r$ olup, $O$ noktası $ABC$ üçgeninin çevrel çemberinin merkezidir.
O halde dokuz nokta çemberinin merkezi, ABC üçgeninin diklik merkezi ile çevrel çemberinin merkezinin orta noktasıdır. Diğer bir ifadeyle $\left | PO \right |=\left | PH \right |$’dir.
“Dokuz Nokta Çemberi” için bir yanıt