Dokuz Nokta Çemberi

Dokuz nokta çemberi , Euler çemberi veya Feuerbach çemberi diye de anılır.

Bir $ABC$ üçgeninde yükseklik ayaklarından ($D$, $E$, $F$), kenar orta noktalarından ($X$, $Y$, $Z$) ve diklik merkezi $H$ olmak üzere; $[HA]$ , $[HB]$, $[HC]$’nin orta noktalarından ($K$, $L$, $M$) bir çember geçer ve bu çembere dokuz nokta çemberi denir.

Herhangi bir $ABC$ üçgeninin yükseklik ayakları $D$, $E$, $F$ ve $H$ diklik merkezi olmak üzere;
$D$, $E$, $F$ noktalarından geçen çemberin, $ABC$ üçgenini kestiği $X$, $Y$, $Z$ noktalarının kenar orta noktalar ve $K$, $L$, $M$ noktalarının sırasıyla $[AH]$, $[BH]$ ve $[CH]$’ın orta noktaları olduğunu gösteriniz.

Not:
Bu yazıyı okumadan önce aşağıdaki yazıları okumanızı tavsiye ederiz.
1. Diklik Merkezi
2. Ortik Üçgeni

Kanıt:

Yükseklik ayaklarını (D, E, F) köşe kabul eden üçgene ortik üçgeni denir ve ABC üçgeninin diklik merkezi olan H noktası, DEF ortik üçgeninin iç teğet çemberinin merkezidir.

Hatırlatma: Yükseklik ayaklarını ($D$, $E$, $F$) köşe kabul eden üçgenine ortik üçgeni denir ve $ABC$ üçgeninin diklik merkezi olan $H$ noktası, $DEF$ ortik üçgeninin iç teğet çemberinin merkezidir.

1.Adım:

Öncelikle $D$, $E$, $F$ noktalarından geçen çemberin $[AH]$, $[BH]$ ve $[CH]$’ın orta noktalarından ($K$, $L$, $M$) geçtiğini gösterelim.

$[DL]$ doğru parçasını çizelim. Aşağıdaki görsele dikkat edilirse; $DLE$ ve $DFE$ aynı yayı gören çevre açılardır. Dolayısıyla $m(\widehat{DLE}) = m(\widehat{DFE}) = 2 \alpha $’dır.

$DLB$ üçgenini baz alırsak, $m(\widehat{DLE}) =2 \alpha $ ve $m(\widehat{DBL}) =\alpha $ olduğuna göre $m(\widehat{BDL}) =\alpha $’dır.

$m(\widehat{BDL}) = m(\widehat{DBL}) =\alpha \quad \Rightarrow \left | DL \right | = \left | BL \right |$’dir.

$DHB$ dik üçgeninde muhteşem üçlü yardımıyla $\left | DL \right | = \left | BL \right | =\left | LH \right |$ olduğu görülür.
Bu da $L$ noktasının, $[BH]$’ın orta noktası olduğunu gösterir.

AHE, BDH ve EHC dik üçgenlerindeki muhteşem üçlülere dikkat ediniz.

$AHE$, $BDH$ ve $EHC$ dik üçgenlerindeki muhteşem üçlülere dikkat edersek; $ \left | BL \right | =\left | LH \right |, \left | HM \right | =\left | MC \right |, \left | KH \right | =\left | KA \right |$ olduğu görülür.

Benzer şekilde
$[EM]$ doğru parçasını çizersek, $m(\widehat{EMF}) = m(\widehat{EDF}) = 2 \beta $ olduğu görülür.

Gerekli işlemleri yaptığımızda $EHC$ dik üçgeninde muhteşem üçlü yardımıyla $\left | EM \right | = \left | HM \right | =\left | MC \right |$ olduğu görülür.

Bu da $M$ noktasının, $[CH]$’ın orta noktası olduğunu gösterir.

$[EK]$ doğru parçasını çizersek, $m(\widehat{EKD}) = m(\widehat{EFD}) = 2 \alpha $ olduğu görülür.

Gerekli işlemleri yaptığımızda $EHA$ dik üçgeninde muhteşem üçlü yardımıyla $\left | EK \right | = \left | KH \right | =\left | KA \right |$ olduğu görülür.

Bu da $K$ noktasının, $[AH]$’ın orta noktası olduğunu gösterir.

O halde dokuz nokta çemberimizin geçtiği $K$, $L$, $M$ noktaları sırasıyla $[AH]$, $[BH]$ ve $[CH]$’ın orta noktalarıdır.

2.Adım:

Şimdi de dokuz nokta çemberinin geçtiği $X$, $Y$, $Z$ noktalarının bulundukları kenarların orta noktaları olduğunu gösterelim.

$[EY]$’yi çizelim. $DYEF$ kirişler dörtgeni olduğu için $m(\widehat{DFE}) = m(\widehat{DYE}) = 180^{\circ}$’dir.

$\alpha +\beta +\theta =90^{\circ}$ ve $m(\widehat{DFE})=2\alpha$ olduğuna göre $m(\widehat{DYE})=2\beta + 2\theta$’dır.

O halde $m(\widehat{YEC})=m(\widehat{YCE})=\beta + \theta$’dır.
Bu da $\left | EY \right | = \left | YC \right |$ olduğunu gösterir.

$EBC$ dik üçgeninde muhteşem üçlü yardımıyla $\left | EY \right | = \left | YB \right | =\left | YC \right |$ olduğu görülür.

Yani $Y$ noktası, $[BC]$ kenarının orta noktasıdır.

Dokuz nokta çemberi: DYEF, DZEF ve DEFX kirişler dörtgenleri yardımıyla, X,Y,Z noktalarının kenar orta noktalar olduğu görülür.

$DYEF$, $DZEF$ ve $DEFX$ kirişler dörtgenleri yardımıyla, $X,Y,Z$ noktalarının kenar orta noktalar olduğu görülür.

$[DZ]$’yi çizersek, $DZEF$ kirişler dörtgeni yardımıyla benzer mantıkla $m(\widehat{DZE})=2\beta + 2\theta$’dır.

$m(\widehat{ZDC})=\beta + \theta$, $\left | DZ \right | = \left | ZA \right | =\left | ZC \right |$ olduğu görülür.

Yani $Z$ noktası, $[AC]$ kenarının orta noktasıdır.

$[DX]$’i çizersek, $DXEF$ kirişler dörtgeni yardımıyla benzer mantıkla $m(\widehat{DXF})=2\alpha + 2\beta$’dır.

$m(\widehat{ZDC})=\alpha + \beta$, $\left | DX \right | = \left | XA \right | =\left | XB \right |$ olduğu görülür.

Yani $X$ noktası, $[AB]$ kenarının orta noktasıdır.

O halde dokuz nokta çemberimizin geçtiği $X$, $Y$, $Z$ noktaları bulundukları kenarların orta noktalarıdır.

Görüldüğü üzere dokuz nokta çemberi; yükseklik ayaklarından, kenar orta noktalardan ve sırasıyla $[AH]$, $[BH]$ ve $[CH]$’ın orta noktaları olan $K$, $L$, $M$ noktalarından geçer.

NOT: Dokuz Nokta Çemberi, Euler Çemberi veya Feuerbach Çemberi diye de anılır.

————————————————————————————————————————–

Özel durumlar:

1. $ABC$ üçgeni eşkenar üçgen olsaydı ne olurdu?

Eşkenar üçgende dokuz nokta çemberi, altı noktadan geçer ve iç teğet çembere dönüşür.

Eşkenar üçgende dokuz nokta çemberi, altı noktadan geçer ve iç teğet çembere dönüşür.

Eşkenar üçgende yükseklik, kenarortay ve açıortay olduğu için; $F$ noktası ve $X$ noktası, $D$ noktası ve $Y$ noktası, $E$ noktası ve $Z$ noktası çakışıktır.

Yani eşkenar üçgende dokuz nokta çemberi, altı özel noktadan geçer. Hatta dokuz nokta çemberi, eşkenar üçgenin iç teğet çemberine dönüşür.

2. $ABC$ üçgeni ikizkenar dik üçgen olsaydı ne olurdu?

İkizkenar dik üçgende dokuz nokta çemberi, dört özel noktadan geçer.

İkizkenar dik üçgende dokuz nokta çemberi, dört özel noktadan geçer.

$BA$ yükseklik olduğu için; $E$ noktası, $A$ noktasıyla çakışır.
$CA$ yükseklik olduğu için, $F$ noktası, $A$ noktasıyla çakışır.
$A$ diklik merkezi olduğu için, $K$ noktası, $A$ noktasıyla çakışır.
$X$ noktası, $L$ noktasıyla çakışır.
$Z$ noktası, $M$ noktasıyla çakışır.
$ABC$ ikizkenar dik üçgen olduğu için $[AD]$ yüksekliği aynı zamanda kenarortaydır. Dolayısıyla $Y$ noktası, $D$ noktasıyla çakışır.

Dolayısıyla ikizkenar dik üçgende dokuz nokta çemberi, dört noktadan ($A, L, D, M$) geçer. Eğer dik üçgenimiz ikizkenar olmasaydı, $Y$ noktası $D$ noktasıyla çakışmayacaktı. Bu durumda beş noktadan ($A, L, D, Y, M$) geçecekti.

————————————————————————————————————————–

Dokuz Nokta Çemberinin Yarıçapı:

Şimdi de dokuz nokta çemberinin yarıçap uzunluğunun, $ABC$ üçgeninin çevrel çemberinin yarıçap uzunluğunun yarısı kadar olduğunu gösterelim.

Dokuz nokta çemberi, KLM üçgeninin çevrel çemberidir.

Dokuz nokta çemberi, $KLM$ üçgeninin çevrel çemberidir.

$ABH$ üçgenini baz alırsak, $K$ ve $L$ noktaları orta noktalar olduğu için $KL$ orta taban olup, $KL // AB$’dir.

$HBC$ üçgenini baz alırsak, $L$ ve $M$ noktaları orta noktalar olduğu için $LM$ orta taban olup, $LM // BC$’dir.

$AHC$ üçgenini baz alırsak, $K$ ve $M$ noktaları orta noktalar olduğu için $KM$ orta taban olup, $KM // AC$’dir.

$KL // AB$, $LM // BC$, $KM // AC$ olduğu için $KLM$ ve $ABC$ üçgenleri benzerdir ve benzerlik oranı $1:2$’dir.

Benzer üçgenlerin benzerlik oranı, çevrel çemberlerinin yarıçaplarının oranı olduğu için, $KLM$ üçgeninin çevrel çemberinin (dokuz nokta çemberi) yarıçap uzunluğu, $ABC$ üçgeninin çevrel çemberinin yarıçap uzunluğunun yarısı kadardır.

Sonuç:

$ABC$ üçgeninin diklik merkezi $H$, çevrel çemberinin merkezi $O$ ve dokuz nokta çemberinin merkezi $P$ olsun. $H, P, O$ doğrusal olup, $\left | PO \right |=\left | PH \right |$’dir.

$H$ ve $P$ noktalarından geçen doğruyu çizelim. $P$ dokuz nokta çemberinin merkezi olduğu için $\left | PM \right |=r$, dokuz nokta çemberinin yarıçapıdır.

$[PM]$ doğru parçasını çizip, $C$ noktasından $PM$’ye paralel çizelim ve $d-$ doğrusunu kestiği nokta $O$ olsun.

$M$ noktası, $[HC]$’nin orta noktası olduğu için $\left | HP \right |=\left | PO \right |$’dur. $[PM]$, $HOC$ üçgeninin orta tabanı olup; $\left | PM \right |=r|$ ise, $\left | OC \right |=2r$’dir.

Dokuz nokta çemberinin merkezi ABC üçgeninin diklik merkezi ve çevrel çemberinin merkezinin orta noktasıdır.

Dokuz nokta çemberinin merkezi ($P$),  $ABC$ üçgeninin diklik merkezi ($H$) ile çevrel çemberinin merkezinin ($O$) orta noktasıdır.

$[PL]$ ve $[OB]$’yi çizersek;  $[PL]$, $HBO$ üçgeninin orta tabanı olup, $\left | PL \right |=r$ ise, $\left | OB \right |=2r$’dir.

$[PK]$ ve $[OA]$’yı çizersek;  $[PK]$, $HAO$ üçgeninin orta tabanı olup, $\left | PK \right |=r$ ise, $\left | OA \right |=2r$’dir.

$\left | OC \right |=\left | OB \right |=\left | OA \right |=2r$ olup, $O$ noktası $ABC$ üçgeninin çevrel çemberinin merkezidir.

O halde dokuz nokta çemberinin merkezi, ABC üçgeninin diklik merkezi ile çevrel çemberinin merkezinin orta noktasıdır. Diğer bir ifadeyle $\left | PO \right |=\left | PH \right |$’dir.

Yanıt Yok

Bir cevap yazın

E-posta hesabınız yayımlanmayacak. Gerekli alanlar * ile işaretlenmişlerdir

Time limit is exhausted. Please reload the CAPTCHA.