$i.$ $ABC$ üçgeninin diklik merkezi $H$, (üçgensel bölgenin) ağırlık merkezi $G$, çevrel çemberinin merkezi $O$ olmak üzere; $H$, $G$, $O$ noktaları doğrusal (Euler Doğrusu) ve $\left | HG \right | = 2\left | GO \right |$ olduğunu gösteriniz.
$ii.$ $P$ noktası $ABC$ üçgeninin dokuz nokta çemberinin merkezi olmak üzere; $H$, $P$, $G$, $O$ noktalarının doğrusal ve aralarında $\left | HP \right |:\left | PG \right |:\left | GO \right | = 3:1:2$ oranı olduğunu gösteriniz.
Kanıt:
$i.$ $H$ noktası $ABC$ üçgeninin diklik merkezi olduğu için yükseklikler bu noktadan geçer-kesişir. $A$, $B$, $C$ köşelerinden yükseklikleri çizelim. $D$, $E$, $F$ noktaları yükseklik ayaklarıdır.
$O$ noktası $ABC$ üçgeninin çevrel çemberinin merkezi olduğu için $O$ noktasından kenarlara inen dikme ayakları, kenar orta noktalardır.
$[AC]$ ve $[BC]$ kenarlarına inen dikme ayakları, $Z$ ve $Y$’dir. O halde $\left | BY \right | = \left | YC \right |$ ve $\left | AZ \right | = \left | ZC \right |$’dir.
Hatırlatma:
Bu hatırlatmayla ilgili yazıyı okumak için : [Problem]: Diklik ve Çevrel Çember Merkezi
$[AY]$’yi çizelim ve $[AY]$ ile $[HO]$’nun kesiştiği noktaya $G$ olsun. Amacımız $G$ noktasının $ABC$ üçgensel bölgesinin ağırlık merkezi olduğunu göstermek.
$[AD]\perp [BC]$, $[OY]\perp [BC]$ olduğu için $AH // OY$’dir ve yukarıda hatırlattığımız üzere $\left | AH \right | = 2\left | OY \right |$’dir.
Kelebek benzerliğinden $YDG \sim AHG$ olup, benzerlik oranı $1:2$’dir. Dolayısıyla $\left | AG \right | = 2\left | GY \right |$’dir.
$\left | AG \right | = 2\left | GY \right |$ ve $\left | BY \right | = \left | YC \right |$ olduğu için $G$ noktası $ABC$ üçgensel bölgesinin ağırlık merkezidir. O halde $H$, $G$, $O$ noktaları doğrusaldır.
$YDG \sim AHG$, benzerlik oranı $1:2$ olduğu için $\left | HG \right | = 2\left | GO \right |$’dur.
Dokuz Nokta Çemberinin merkezi nerede?
$ii.$ $P$ noktası dokuz nokta çemberinin merkezi olmak üzere, $P$ noktasının Euler Doğrusu üzerinde ve $\left | HP \right |:\left | PG \right |:\left | GO \right | = 3:1:2$ oranı olduğunu gösterelim.
Hatırlatma:
Bu hatırlatmayla ilgili yazıyı okumak için : Dokuz Nokta Çemberi
Dokuz nokta çemberinin merkezi ($P$), $ABC$ üçgeninin diklik merkezi ($H$) ile çevrel çemberinin merkezinin ($O$) orta noktası olduğuna göre Euler Doğrusu üzerindedir .
$\left | HG \right | = 2\left | GO \right |$ ve $\left | PH \right |=\left | PO \right |$ olduğuna göre $\left | HP \right |:\left | PG \right |:\left | GO \right | = 3:1:2$ oranı vardır.
Biz yazımızda dar açılı bir üçgen üzerinden hareket ettik. Bu durum dik üçgen ve geniş açılı üçgen için de geçerlidir. Aşağıdaki görsele dikkat ederseniz, doğrusallık hiçbir zaman bozulmamaktadır.
GÖRSEL:
