Euler Doğrusu

ABC üçgeninin diklik merkezi H, (üçgensel bölgenin) ağırlık merkezi G, çevrel çemberinin merkezi O olmak üzere; H, G, O noktaları doğrusaldır  ve bu doğruya Euler doğrusu denir.

$ABC$ üçgeninin diklik merkezi $H$, (üçgensel bölgenin) ağırlık merkezi $G$, çevrel çemberinin merkezi $O$ olmak üzere; $H$, $G$, $O$ noktaları doğrusaldır ve bu doğruya Euler Doğrusu denir.

$i.$ $ABC$ üçgeninin diklik merkezi $H$, (üçgensel bölgenin) ağırlık merkezi $G$, çevrel çemberinin merkezi $O$ olmak üzere; $H$, $G$, $O$ noktaları doğrusal (Euler Doğrusu) ve $\left | HG \right | = 2\left | GO \right |$ olduğunu gösteriniz.

$ii.$ $P$ noktası $ABC$ üçgeninin dokuz nokta çemberinin merkezi olmak üzere; $H$, $P$, $G$, $O$ noktalarının doğrusal ve aralarında $\left | HP \right |:\left | PG \right |:\left | GO \right | = 3:1:2$ oranı olduğunu gösteriniz.

Kanıt:

$i.$ $H$ noktası $ABC$ üçgeninin diklik merkezi olduğu için yükseklikler bu noktadan geçer-kesişir. $A$, $B$, $C$ köşelerinden yükseklikleri çizelim. $D$, $E$, $F$ noktaları yükseklik ayaklarıdır.

$O$ noktası $ABC$ üçgeninin çevrel çemberinin merkezi olduğu için $O$ noktasından kenarlara inen dikme ayakları, kenar orta noktalardır.

$[AC]$ ve $[BC]$ kenarlarına inen dikme ayakları, $Z$ ve $Y$’dir. O halde $\left | BY \right | = \left | YC \right |$ ve $\left | AZ \right | = \left | ZC \right |$’dir.

H diklik merkezi, O çevrel çemberin merkezidir. Z ve Y kenar orta noktalardır.

$H$ diklik merkezi, $O$ çevrel çemberin merkezidir. $Z$ ve $Y$ kenar orta noktalardır.

Hatırlatma:

O: Çevrel çemberin merkezi, H: Diklik merkezi ise |AH| = 2|OD|$'dir.

$O$: Çevrel çemberin merkezi, $H$: Diklik merkezi ise $\left | AH \right | = 2\left | OY \right |$’dir.

Bu hatırlatmayla ilgili yazıyı okumak için : [Problem]: Diklik ve Çevrel Çember Merkezi

$[AY]$’yi çizelim ve $[AY]$ ile $[HO]$’nun kesiştiği noktaya $G$ olsun. Amacımız $G$ noktasının $ABC$ üçgensel bölgesinin ağırlık merkezi olduğunu göstermek.

$[AD]\perp [BC]$, $[OY]\perp [BC]$ olduğu için $AH // OY$’dir ve yukarıda hatırlattığımız üzere $\left | AH \right | = 2\left | OY \right |$’dir.

Kelebek benzerliğinden $YDG \sim AHG$ olup, benzerlik oranı $1:2$’dir. Dolayısıyla $\left | AG \right | = 2\left | GY \right |$’dir.

H, G, O noktaları doğrusal olup, bu noktalardan geçen doğruya Euler Doğrusu denir.

$H$, $G$, $O$ noktaları doğrusal olup, bu noktalardan geçen doğruya Euler Doğrusu denir.

$\left | AG \right | = 2\left | GY \right |$ ve $\left | BY \right | = \left | YC \right |$ olduğu için $G$ noktası $ABC$ üçgensel bölgesinin ağırlık merkezidir. O halde $H$, $G$, $O$ noktaları doğrusaldır.

$YDG \sim AHG$, benzerlik oranı $1:2$ olduğu için $\left | HG \right | = 2\left | GO \right |$’dur.

Dokuz Nokta Çemberinin merkezi nerede?

$ii.$ $P$ noktası dokuz nokta çemberinin merkezi olmak  üzere, $P$ noktasının Euler Doğrusu üzerinde ve $\left | HP \right |:\left | PG \right |:\left | GO \right | = 3:1:2$ oranı olduğunu gösterelim.

Hatırlatma:

Dokuz nokta çemberinin merkezi (P), ABC üçgeninin diklik merkezi (H) ile çevrel çemberinin merkezinin (O) orta noktasıdır.

Dokuz nokta çemberinin merkezi $(P)$,  $ABC$ üçgeninin diklik merkezi $(H)$ ile çevrel çemberinin merkezinin $(O)$ orta noktasıdır. $\left | PH \right |=\left | PO \right |$’dır.

Bu hatırlatmayla ilgili yazıyı okumak için : Dokuz Nokta Çemberi

Dokuz nokta çemberinin merkezi ($P$), $ABC$ üçgeninin diklik merkezi ($H$) ile çevrel çemberinin merkezinin ($O$) orta noktası olduğuna göre Euler Doğrusu üzerindedir .

$\left | HG \right | = 2\left | GO \right |$ ve $\left | PH \right |=\left | PO \right |$ olduğuna göre $\left | HP \right |:\left | PG \right |:\left | GO \right | = 3:1:2$ oranı vardır.

Euler Doğrusu: H, P, G, O noktaları doğrusaldır.

Sonuç: $H$, $P$, $G$, $O$ noktaları doğrusal olup; aralarında $\left | HP \right |:\left | PG \right |:\left | GO \right | = 3:1:2$ oranı vardır.

Biz yazımızda dar açılı bir üçgen üzerinden hareket ettik. Bu durum dik üçgen ve geniş açılı üçgen için de geçerlidir. Aşağıdaki görsele dikkat ederseniz, doğrusallık hiçbir zaman bozulmamaktadır.

GÖRSEL:

Euler Doğrusu: Üçgenin dar açılı, geniş açılı veya dik açılı olması doğrusallığı bozmamaktadır.

Euler Doğrusu: Üçgenin dar açılı, geniş açılı veya dik açılı olması doğrusallığı bozmamaktadır.

Bir cevap yazın

E-posta hesabınız yayımlanmayacak. Gerekli alanlar * ile işaretlenmişlerdir

Time limit is exhausted. Please reload the CAPTCHA.