Fagnano Teoremi: En küçük çevreli üçgen

DEF üçgeninin çevresinin en küçük olması için ortik üçgeni olması gerekir.

Köşeleri ABC üçgeni üzerinde bulunan üçgenlerden çevresi en küçük olan üçgen ortik üçgenidir.

Köşeleri herhangi bir $ABC$ üçgeninin kenarları üzerinde bulunan $DEF$ üçgeninin çevresinin en küçük olması için, $DEF$ üçgeninin $ABC$ üçgeninin ortik üçgeni olması gerektiğini gösteriniz.

Not:
Bu yazıyı okumadan önce aşağıdaki yazıları okumanızı tavsiye ederiz.
1. Diklik Merkezi
2. Dış Teğet Çember
3. Ortik Üçgeni

Kanıt:

I. Metod:

İlk olarak $DEF$ üçgeninin çevresinin en küçük olması için gerekli ve yeter şartı bulalım.
$[DF]$’nin $AB$ kenarına, $[DE]$’nin $AC$ kenarına göre simetriğini alalım.

$[DF]$’nin $AB$ kenarına göre simetriği $[D_{1}F]$, $[DE]$’nin $AC$ kenarına göre simetriği $[D_{2}E]$ olsun.

Yani $\left | DF \right | = \left | D_{1}F \right |$, $\left | DE \right | = \left | D_{2}E \right |$olup, $AB$ ve $AC$ simetri eksenleridir.

En küçük çevreli üçgen 2

Yukarıdaki görsele dikkat edersek, $D_{1}, F, E, D_{2}$ kırık çizgilerinin uzunlukları toplamı $DEF$ üçgeninin çevresinin uzunluğuna eşittir.

Bu kırık çizgilerin toplamının minimum olması için $D_{1}, F, E, D_{2}$ noktalarının doğrusal olması gerekir. (bkz: geometrik eşitsizlik: en kısa yol problemi)

DEF üçgeninin çevresinin minimum olması (15.7) durumunda $D_{1}, F, E, D_{2}$ noktalarının doğrusal olduğunu görebilirsiniz.

DEF üçgeninin çevresinin minimum olması (15.7) durumunda $D_{1}, F, E, D_{2}$ noktalarının doğrusal olduğunu görebilirsiniz.

Yani amacımız $D_{1}, F, E, D_{2}$ doğrusal olmasını sağlayan $D, E, F$ noktalarının nerede olması gerektiğini bulmak. O halde $D_{1}, F, E, D_{2}$ noktaları doğrusal olacak şekilde bir çizim yapalım:

En küçük çevreli üçgen 3

$AB$ ve $AC$ simetri eksenleri olduğu için $\left | AD_{1} \right | = \left | AD \right |= \left | AD_{2} \right |$’dir.

Yukarıdaki görsele dikkat edilirse, $D_{1}AD_{2}$ açısının ölçüsü $BAC$ açısının ölçüsünün iki katıdır. $BAC$ açısı sabit olduğuna göre $D_{1}AD_{2}$ açısı da sabittir.

$AD_{1}D_{2}$ üçgeninin $D_{1}AD_{2}$ açısı sabit olduğuna göre $[D_{1}D_{2}]$’nin en kısa olması için $[AD_{1}]$ ve $[AD_{2}]$’nin minimum uzunlukta olması gerekir.

$\left | AD_{1} \right | = \left | AD \right |= \left | AD_{2} \right |$ olduğunu yukarıda göstermiştik. $[AD_{1}]$ ve $[AD_{2}]$’nin minimum olması demek $[AD]$’nin minimum olması demektir.

Bir noktanın bir doğuya en kısa uzaklığı dik uzaklık olduğu kaidesince $AD \perp BC$’dir. Yani $[AD]$ yüksekliktir.

Aynı metodu diğer köşeler için de kullanırsak, $[BE]$ ve $[CD]$’nin de yükseklik olması gerektiğini görürüz.

Yani $D, E, F$ noktaları yükseklik ayakları olup, bu da $DEF$ üçgeninin ortik üçgeni olduğunu gösterir.

Dar veya geniş açılı bir üçgenin yükseklik ayaklarıyla (DEF) kurulan üçgene ortik üçgeni denir.

II. Metod:

I. metotda bahsettiğimiz üzere $DEF$ üçgeninin çevresinin minimum olması için $D_{1}, F, E, D_{2}$ kırık çizgilerinin doğrusal olması gerekir. Aşağıdaki görsele dikkat edilirse, $[D_{1}F]$, $[DE]$’nin $AC$ kenarına göre simetriği $[D_{2}E]$ olduğuna göre $AE$ ve $AD$’nin $DEF$ üçgeninin dış açıortayı olması gerekir.

Dış teğet çember ve dış açıortay yazımızda bahsettiğimiz üzere (kaba bir tabirler) üçgende iki dış açıortay ve bir iç açıortay tek bir noktada kesişir. Dolayısıyla $DA$, $DEF$ üçgeninin iç açıortayı olup, A noktası $DEF$ üçgeninin dış teğet çemberinin merkezidir.

en küçük çevre 5

Benzer şekilde diğer köşeler için de aynı metod kullanılırsa, $BE$ ve $CF$’nin de $DEF$ üçgeninin iç açıortayı olduğu görülür. Bu da $DEF$ üçgeninin ortik üçgeni olduğunu gösterir.

En küçük çevre 6

ABC üçgeninin diklik merkezi olan K noktasının, DEF üçgeninin iç teğet çemberinin merkezi olduğu görülür.F, E, D yükseklik ayakları olup; DEF ortik üçgenidir.

Bir cevap yazın

E-posta hesabınız yayımlanmayacak. Gerekli alanlar * ile işaretlenmişlerdir

Time limit is exhausted. Please reload the CAPTCHA.