Fibonacci Dizisi ve Altın Oran İlişkisi

Kenar uzunlukları Fibonacci sayıları ($1,1,2,3,5,8,13$) kadar olan kareler yardımıyla elde edilen altın spiral. Sayılar büyüdükçe, dikdörtgenlerin kenar uzunluklarının oranı altın orana yaklaşır.

Fibonacci dizisindeki bir terimin kendisinden bir önceki terime oranını inceleyelim ve terim büyüdükçe bu oranın altın orana yaklaştığını gösterelim.

Fibonacci dizisindeki her bir sayı, kendisinden önceki ardışık iki sayının toplamına eşittir.

$1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, ……$

Bunu formülize edecek olursak;

$F_{1} = F_{2} =1\\
F_{3} =F_{1}+F_{2}=2 \\
F_{4} = F_{2}+F_{3}= 3\\
F_{5} = F_{3}+F_{4}=5\\
F_{6} = F_{4}+F_{5}=8\\
….\\
… \\
..\\
F_{n+1} = F_{n-1} + F_{n}; (n\geqslant2)$

diyebiliriz.

Şimdi de, Fibonacci dizisi ve altın oran ilişkisini inceleyelim:

Fibonacci dizisindeki bir sayı, kendisinden önce gelen sayıya bölündüğünde altın orana yakın bir değer verir. Sayı büyüdükçe bu oran, altın orana yaklaşır. Birkaç temel örnek üzerinden inceleyelim.

$\Large \frac{8}{5}$ $= 1.6 ,\quad$ $\Large \frac{13}{8}$ $= 1.625,\quad$ $\Large \frac{21}{13}$ $= 1.615..,\quad $ $\Large \frac{10946}{6765} $ $ = 1.6180339…,\quad….$ $\Large\frac{F_{n+1}}{F_{n}},….$



Grafikten anlaşılacağı üzere Fibonacci sayıları büyüdükçe oran altın orana yaklaşmaktadır.




Bu öngörüyü matematiksel olarak kesinleştirelim.

$F_{n+1} = F_{n-1} + F_{n}$ ifadesinde

$n$ yerine $n-1$ yazarsak, $F_{n}$ ve $F_{n-1}$’i elde ederiz.

Fibonacci dizisindeki her sayı, önceki ardışık iki terimin toplamı olduğu için

$F_{n+1} = F_{n-1}+F_{n} \\\\$

$ \Large\frac{F_{n+1}}{F_{n}}$ = $ \Large\frac{F_{n-1}+F_{n}}{F_{n}}\\\\$

$ \Large\frac{F_{n+1}}{F_{n}}$ = $ \Large\frac{F_{n-1}}{F_{n}}$$+1 \quad (I)$

yazabiliriz.

Şimdi de limit yardımıyla $\lim_{n\rightarrow \infty } \Large\frac{F_{n+1}}{F_{n}}$ $ = \phi $ olduğunu gösterelim.

$\lim_{n\rightarrow \infty } \Large\frac{F_{n+1}}{F_{n}}$ $=$$ \lim_{n\rightarrow \infty } \Large\frac{F_{n}}{F_{n-1}} $ $=K$

$\lim_{n\rightarrow \infty }$ $\Large\frac{F_{n-1}}{F_{n}}$ $+1 =$$ \lim_{n\rightarrow \infty } \Large\frac{F_{n}}{F_{n-1}} $ $\quad (I)$

$\Large \frac{1}{K}$$+1=K$

$K^{2}-K-1=0$

$K= \Large \frac{1\pm\sqrt{5} }{2}$

Fibonacci dizisinin bütün terimleri pozitif sayı olduğu için aradığımız oran da pozitif olmalı. Dolayısıyla

$K= \Large \frac{1+\sqrt{5} }{2} $
bulunur.

$\lim_{n\rightarrow \infty } \Large\frac{F_{n+1}}{F_{n}}$ $ = \Large \frac{1+\sqrt{5} }{2} = \phi $

Görüldüğü üzere Fibonacci dizisinin limiti altın oranı verir.

GÖRSEL:

Kenar uzunlukları Fibonacci sayılarına eşit olan kareler yardımıyla çizilmiş altın spiral.

Yanıt Yok

Bir cevap yazın

E-posta hesabınız yayımlanmayacak. Gerekli alanlar * ile işaretlenmişlerdir

Time limit is exhausted. Please reload the CAPTCHA.