Geometrik Eşitsizlik: En Kısa Yol Problemi

$P \in d$ ve $B$ noktasının $d$- doğrusuna göre simetriği $B’$ olsun.

$\left | AP \right |+\left | PB \right | $ ‘nin en küçük değeri aldığında $A$, $P$ ve $B’$ noktasının doğrusal olması gerektiğini gösteriniz.
Diğer bir ifadeyle $m(\widehat{KPA})=m(\widehat{LPB})$ olduğunu gösteriniz.

Kanıt:

$d$ doğrusu üzerinde birbirinden farklı $P_{1}$ ve $P_{2}$ noktaları alalım. $B$ noktasının $d$- doğrusuna göre simetriği de $B’$ olsun.

$[P_{1}B’]$ ve $[P_{2}B’]$ çizilirse $AP_{1}B’$ ve $AP_{2}B’$ üçgenlerinin ikizkenar üçgenler olduğu görülür.

O halde $\left | P_{1}B \right |=\left | P_{1}B’ \right |$ ve $\left | P_{2}B \right |=\left | P_{2}B’ \right |$’dir.

Şimdi de $[AB’]$ doğru parçasını çizelim. $[AB’]$’nün $d$-doğrusunu kestiği nokta $P_{n}$ olsun.

Yani $AP_{n}B’$ doğrusal ve $\left | P_{n}B \right |=\left | P_{n}B’ \right |$’dir.

Yukarıdaki görsele dikkat edilirse;
$$\left | AP_{1} \right |+\left | P_{1}B \right |=\left | AP_{1} \right |+\left | P_{1}B’ \right | \quad (I)$$
$$\left | AP_{2} \right |+\left | P_{2}B \right |=\left | AP_{2} \right |+\left | P_{2}B’ \right | \quad (II)$$
$$…………………………..$$

$$\left | AP_{n} \right |+\left | P_{n}B \right |=\left | AP_{n} \right |+\left | P_{n}B’ \right |=\left | AB’ \right |$$

$AP_{1}B’$ ve $AP_{2}B’$ … üçgenlerinde üçgen eşitsizliğini kullanırsak:

$$\left | AP_{1} \right |+\left | P_{1}B \right | > \left | AP_{n} \right |+\left | P_{n}B \right | \quad $$
$$\left | AP_{2} \right |+\left | P_{2}B \right | > \left | AP_{n} \right |+\left | P_{n}B \right | \quad $$
$$…………………………..$$
$$\left | AP_{i} \right |+\left | P_{i}B \right | > \left | AP_{n} \right |+\left | P_{n}B \right | \quad (i\neq n)$$

Bu durumda $\left | AP_{n} \right |+\left | P_{n}B \right |$ ‘nin en kısa mesafe olduğu görülür.

Dikkat edilirse bu $P_{n}$ noktası için $A P_{n} B’$ doğrusal olup; $m(\widehat{KP_{n}A})=m(\widehat{LP_{n}B})$’dir.