Hiperbolün dik kesişen teğetlerinin kesişme noktalarının geometrik yerinin, bir çember olduğunu gösteriniz.
$$ \frac{x^{2}}{a^{2}}-\frac{y^{2}}{b^{2}} = 1$$ hiperbolü için bu geometrik yerin
$$x^{2}+y^{2} = a^{2}-b^{2} \quad (a>b)$$
denklemli çember olduğunu gösteriniz.
Kanıt:
Öncelikle
$$ \frac{x^{2}}{a^{2}}-\frac{y^{2}}{b^{2}} = 1$$ hiperbolü ile $y=mx+n$ doğrusunun teğet olma şartının $$a^{2}m^{2}-b^{2}-n^{2}=0$$ olduğunu gösterelim.
Hiperbol ve doğru tek bir noktada kesiştikleri için kesişme noktasını veren denklemin tek kökü olmalı.
Yani hiperbol ve doğru denkleminin ortak çözümünün diskriminantı 0 olmalı. $\left( \Delta =0\right)$
$$\frac{x^{2}}{a^{2}}-\frac{y^{2}}{b^{2}} = 1$$ hiperbolü ve $y=mx+n$ doğrusu için ortak çözüm yaparsak:
$$\frac{x^{2}}{a^{2}}-\frac{(mx+n)^{2}}{b^{2}}=1$$
$$b^{2}x^{2}-a^{2}(mx+n)^{2}-a^{2}b^{2}=0$$
$$b^{2}x^{2}-a^{2}m^{2}x^{2}-2a^{2}mnx-n^{2}-a^{2}b^{2}=0$$
$$(a^{2}m^{2}-b^{2})x^{2}-2a^{2}mnx-n^{2}-a^{2}b^{2}=0$$
$$\Delta = (2a^{2}mn)^{2}-4(a^{2}m^{2}-b^{2})(-n^{2}-a^{2}b^{2})=0$$
$$\Rightarrow a^{2}m^{2}-b^{2}-n^{2}=0 \quad (I)$$
Şimdi de hiperbolün dik kesişen teğetlerin kesişme noktalarının geometrik yerini bulalım:
$$\frac{x^{2}}{a^{2}}-\frac{y^{2}}{b^{2}} = 1$$
hiperbolünün dik kesişen teğetlerinden herhangi ikisinin kesiştiği nokta $A(x_{0},y_{0})$ olsun.
Bu teğet doğrularının eğimleri de $m_{1}$ ve $m_{2}$ olsun.
O halde bu teğet doğrularının denklemleri
$y=m(x-x_{0})+y_{0}$ ve $y=mx+n$ denklemlerini birbirlerine eşitlersek,
$n = -mx_{0}+y_{0}$ yazabiliriz.
$(I)$ denkleminde $n = -mx_{0}+y_{0}$ yazarsak:
$$a^{2}m^{2}-b^{2}-(-mx_{0}+y_{0})^{2}=0$$
$$a^{2}m^{2}-b^{2}-m^{2}x_{0}^{2}+2mx_{0}y_{0}-y_{0}^{2}=0$$
$$(a^{2}-x_{0}^{2})m^{2}+2mx_{0}y_{0}-b^{2}-y_{0}^{2}=0 \quad (II)$$
$m$’ye bağlı bu ikinci dereceden denklemin kökleri teğetlerin eğimleri olan $m_{1}$ ve $m_{2}$’yi verir.
Teğet doğruları birbirlerine dik olduğu için
$$m_{1}m_{2}=-1$$
$(II)$ denklemde kökler çarpımından da
O halde
$x_{0}$ ve $y_{0}$ dik kesişen teğetlerin kesiştiği noktanın apsis ve ordinatı olup, her zaman bu eşitlik geçerlidir.
Dolayısıyla dik kesişen teğetler $$x^{2}+y^{2} = \left | a^{2}-b^{2} \right |$$ çemberi üzerinde kesişir.
GÖRSEL:
# Elipsin dik kesişen teğetlerinin kesim noktalarının geometrik yeri için buraya tıklayınız.
# Parabolün dik kesişen teğetlerinin kesim noktalarının geometrik yeri için buraya tıklayınız.
“Hiperbolün dik kesişen teğetleri” için 2 yanıt