Hiperbolün dik kesişen teğetleri

Hiperbolün dik kesişen teğetlerinin kesişme noktalarının geometrik yerinin, bir çember olduğunu gösteriniz.
$$ \frac{x^{2}}{a^{2}}-\frac{y^{2}}{b^{2}} = 1$$ hiperbolü için bu geometrik yerin
$$x^{2}+y^{2} = a^{2}-b^{2}  \quad  (a>b)$$
denklemli çember olduğunu gösteriniz.

Kanıt:

Öncelikle
$$ \frac{x^{2}}{a^{2}}-\frac{y^{2}}{b^{2}} = 1$$ hiperbolü ile $y=mx+n$ doğrusunun teğet olma şartının $$a^{2}m^{2}-b^{2}-n^{2}=0$$ olduğunu gösterelim.

Hiperbol ve doğru tek bir noktada kesiştikleri için kesişme noktasını veren denklemin tek kökü olmalı.
Yani hiperbol ve doğru denkleminin ortak çözümünün diskriminantı 0 olmalı. $\left( \Delta =0\right)$

$$\frac{x^{2}}{a^{2}}-\frac{y^{2}}{b^{2}} = 1$$ hiperbolü ve $y=mx+n$ doğrusu için ortak çözüm yaparsak:
$$\frac{x^{2}}{a^{2}}-\frac{(mx+n)^{2}}{b^{2}}=1$$
$$b^{2}x^{2}-a^{2}(mx+n)^{2}-a^{2}b^{2}=0$$
$$b^{2}x^{2}-a^{2}m^{2}x^{2}-2a^{2}mnx-n^{2}-a^{2}b^{2}=0$$
$$(a^{2}m^{2}-b^{2})x^{2}-2a^{2}mnx-n^{2}-a^{2}b^{2}=0$$
$$\Delta = (2a^{2}mn)^{2}-4(a^{2}m^{2}-b^{2})(-n^{2}-a^{2}b^{2})=0$$
$$\Rightarrow a^{2}m^{2}-b^{2}-n^{2}=0 \quad (I)$$

Şimdi de hiperbolün dik kesişen teğetlerin kesişme noktalarının geometrik yerini bulalım:

Hiperbole teğet ve dik kesişen iki doğru.

Hiperbole teğet ve dik kesişen iki doğru.

$$\frac{x^{2}}{a^{2}}-\frac{y^{2}}{b^{2}} = 1$$

hiperbolünün dik kesişen teğetlerinden herhangi ikisinin kesiştiği nokta $A(x_{0},y_{0})$ olsun.

Bu teğet doğrularının eğimleri de $m_{1}$ ve $m_{2}$ olsun.

O halde bu teğet doğrularının denklemleri

$y=m_{1}(x-x_{0})+y_{0}$
$y=m_{2}(x-x_{0})+y_{0}$
Bu teğet doğrularının denklemlerini genel olarak

$y=m(x-x_{0})+y_{0}$
olarak yazabiliriz.

$y=m(x-x_{0})+y_{0}$ ve $y=mx+n$ denklemlerini birbirlerine eşitlersek,

$n = -mx_{0}+y_{0}$ yazabiliriz.

$(I)$ denkleminde $n = -mx_{0}+y_{0}$ yazarsak:

$$a^{2}m^{2}-b^{2}-(-mx_{0}+y_{0})^{2}=0$$
$$a^{2}m^{2}-b^{2}-m^{2}x_{0}^{2}+2mx_{0}y_{0}-y_{0}^{2}=0$$
$$(a^{2}-x_{0}^{2})m^{2}+2mx_{0}y_{0}-b^{2}-y_{0}^{2}=0 \quad (II)$$

$m$’ye bağlı bu ikinci dereceden denklemin kökleri teğetlerin eğimleri olan $m_{1}$ ve $m_{2}$’yi verir.

Teğet doğruları birbirlerine dik olduğu için

$$m_{1}m_{2}=-1$$

$(II)$ denklemde kökler çarpımından da

$$m_{1}m_{2}= \frac{-b^{2}-y_{0}^{2}}{a^{2}-x_{0}^{2}}$$
bulunur.

O halde

$$ \frac{-b^{2}-y_{0}^{2}}{a^{2}-x_{0}^{2}} = -1 $$
$$\Rightarrow x_{0}^{2}+y_{0}^{2} = a^{2}-b^{2}$$

$x_{0}$ ve $y_{0}$ dik kesişen teğetlerin kesiştiği noktanın apsis ve ordinatı olup, her zaman bu eşitlik geçerlidir.

Dolayısıyla dik kesişen teğetler $$x^{2}+y^{2} = \left | a^{2}-b^{2} \right |$$ çemberi üzerinde kesişir.

GÖRSEL:

Hiperbolün dik kesişen teğetlerinin, kesişme noktalarının geometrik yeri bir çemberdir.

Hiperbolün dik kesişen teğetlerinin, kesişme noktalarının geometrik yeri bir çemberdir.

# Elipsin dik kesişen teğetlerinin kesim noktalarının geometrik yeri için buraya tıklayınız.
# Parabolün dik kesişen teğetlerinin kesim noktalarının geometrik yeri için buraya tıklayınız.

Yanıt Yok

Bir cevap yazın

E-posta hesabınız yayımlanmayacak. Gerekli alanlar * ile işaretlenmişlerdir

Time limit is exhausted. Please reload the CAPTCHA.