Menelaus Teoremi

$$\frac{\left |AF \right |}{\left |AB \right |}.\frac{\left |BC \right |}{\left |CD \right |}.\frac{\left |DE \right |}{\left |EF \right |}=1$$
$$ \frac{\left |DC \right |}{\left |DB \right |}.\frac{\left |BF \right |}{\left |FA \right |}.\frac{\left |AE \right |}{\left |EC \right |}=1$$
olduğunu gösteriniz.

Kanıt:

$BD$ doğrusuna paralel $F$ noktasından bir paralel çizelim. Bu doğrunun $AC$’yi kestiği noktaya $K$ noktası diyelim.
Paralellikten dolayı taralı üçgenler benzerdir. (Kelebek benzerliği)

$FKE\sim DCE$ dolayısıyla $\Large\frac{\left |FK \right |}{\left |CD \right |} = \frac{\left |EF \right |}{\left |DE \right |}$ $\quad \Rightarrow$ $\left |FK \right | = $ $\Large\frac{\left |CD \right |.\left |EF \right |}{\left |DE \right |}$ $(I)$

Yine paralellikten dolayı $AFK$ ve $ABC$ üçgenleri benzerdir.

$AFK\sim ABC$ dolayısıyla $\Large\frac{\left |FK \right |}{\left |BC \right |} = \frac{\left |AF \right |}{\left |AB \right |}$ $\quad \Rightarrow$ $\left |FK \right | = $ $\Large\frac{\left |AF \right |.\left |BC \right |}{\left |AB \right |}$ $(II)$

$(I)$ VE $(II)$ ifadeler eşitlenirse: $\left |FK \right | = $ $\Large\frac{\left |CD \right |.\left |EF \right |}{\left |DE \right |}$ $=$ $\Large\frac{\left |AF \right |.\left |BC \right |}{\left |AB \right |}$

$$\Rightarrow \frac{\left |AF \right |}{\left |AB \right |}.\frac{\left |BC \right |}{\left |CD \right |}.\frac{\left |DE \right |}{\left |EF \right |}=1$$

Teoremin 2.şıkkının kanıtı aynı metotla $CK // AB$ olacak şekilde $CK$ doğrusu çizilerek yapılabilir.


NOT: Menelaus Teoremi’nin karşıtı da doğrudur. Eğer, $\large \frac{\left |AF \right |}{\left |AB \right |}.\frac{\left |BC \right |}{\left |CD \right |}.\frac{\left |DE \right |}{\left |EF \right |}=1$ eşitliği sağlanıyorsa $DEF$ doğrusaldır.