Ortik Üçgeni

Dar veya geniş açılı bir üçgenin yükseklik ayaklarıyla (DEF) kurulan üçgene ortik üçgeni denir.

Bir üçgenin yüksekliklerinin (uzantılarının), kenarları (uzantılarını) kestiği noktaları köşe kabul eden üçgene ‘ortik üçgeni’ denir. Şekildeki DEF üçgeni ortik üçgenidir.

$i.\quad$Dar açılı bir $ABC$ üçgeninin yüksekliklerinin kesiştiği nokta (diklik merkezi) $K$ ve yükseklik ayakları $D$, $E$, $F$ olduğuna göre; $K$ noktasının, $DEF$ üçgeninin (ortik üçgeni) iç teğet çemberinin merkezi olduğunu gösteriniz.

$ii.\quad$Geniş açılı bir üçgenin diklik merkezinin, bu üçgenin ortik üçgeninin dış teğet çemberinin merkezi olduğunu gösteriniz.

Kanıt:

İlk önce açıların ölçülerini isimlendindirelim:
$m(\widehat{DAB})=\alpha$, $m(\widehat{ABE})=\beta$, $m(\widehat{DBE})=\theta$ dersek, dik üçgenler yardımıyla veya kirişler dörtgenleri yardımıyla $m(\widehat{BCF})=\alpha$, $m(\widehat{ACF})=\beta$, $m(\widehat{DAC})=\theta$
olduğu görülür.

Açıların ölçülerini isimlendirip, dik üçgenlerden yardım aldığımız takdirde açı ölçüleri şekildeki gibi olacaktır.

$EKDC$, $BDKF$ ve $KEAF$ dörtgenleri birer kirişler dörtgenidir. (Karşılıklı açılarının ölçüleri bütünler)

$EKDC$ kirişler dörtgeni yardımıyla, $m(\widehat{DEK})=\alpha$, $KEAF$ kirişler dörtgeni yardımıyla da $m(\widehat{FAK})=\alpha$ olduğu görülür. Bu durumda $DEF$ üçgeninde $EK$ iç açıortaydır.

$EKDC$ kirişler dörtgeni yardımıyla $m(\widehat{EDK})=\beta$, $BDKF$ kirişler dörtgeni yardımıyla da $m(\widehat{FDK})=\beta$ olduğu görülür. Bu durumda $DEF$ üçgeninde $DK$ iç açıortaydır.

Üçgende iç açıortaylar bir noktada kesiştiği için $DEF$ üçgeninde $FK$ da iç açıortaydır. O halde $K$ noktası $DEF$ üçgeninin iç teğet çemberinin merkezidir.

Kirişler dörtgenleri yardımıyla, ABC üçgeninin diklik merkezi olan K noktasının, DEF üçgeninin iç teğet çemberinin merkezi olduğu görülür.

Şimdi de geniş açılı bir üçgenin ortik üçgenini inceleyelim. Geniş açılı bir üçgenin diklik merkezinin, ortik üçgeninin dış teğet çemberinin merkezi olduğunu gösterelim:

Yukarıdaki görsele dikkat edersek; $m(\widehat{AKC})>90^{\circ}$ olup, $AKC$ üçgeni geniş açılı bir üçgendir. $AKC$ geniş açılı üçgeninin yüksekliklerinin doğrultuları $B$ noktasında kesişmektedir, yani $B$ noktası $AKC$ üçgeninin diklik merkezidir.

$AKC$ üçgeninin yükseklik ayakları $D$, $E$, $F$’dir. Bu da demek oluyor ki geniş açılı üçgenimizin ortik üçgeni $DEF$ üçgenidir. $ED$ ve $EF$’yi uzatırsak, $FB$ ve $DB$’nin açıortay olduğu görülür.

$DEF$ üçgeninde $FB$, $DB$ dış açıortay, $EB$ iç açıortay olup, B noktasında kesiştikleri için, $B$ noktası $DEF$ ortik üçgeninin dış teğet çemberinin merkezidir.

Geniş açılı bir üçgende dik merkezi, ortik üçgeninin dış teğet çemberinin merkezidir.
# Ortik üçgeni ile ilgili güzel bir problem için buraya tıklayabilirsiniz.

Yanıt Yok

Bir cevap yazın

E-posta hesabınız yayımlanmayacak. Gerekli alanlar * ile işaretlenmişlerdir

Time limit is exhausted. Please reload the CAPTCHA.