$i.\quad$Dar açılı bir $ABC$ üçgeninin yüksekliklerinin kesiştiği nokta (diklik merkezi) $K$ ve yükseklik ayakları $D$, $E$, $F$ olduğuna göre; $K$ noktasının, $DEF$ üçgeninin (ortik üçgeni) iç teğet çemberinin merkezi olduğunu gösteriniz.
$ii.\quad$Geniş açılı bir üçgenin diklik merkezinin, bu üçgenin ortik üçgeninin dış teğet çemberinin merkezi olduğunu gösteriniz.
Kanıt:
İlk önce açıların ölçülerini isimlendindirelim:
$m(\widehat{DAB})=\alpha$, $m(\widehat{ABE})=\beta$, $m(\widehat{DBE})=\theta$ dersek, dik üçgenler yardımıyla veya kirişler dörtgenleri yardımıyla $m(\widehat{BCF})=\alpha$, $m(\widehat{ACF})=\beta$, $m(\widehat{DAC})=\theta$
olduğu görülür.
$EKDC$, $BDKF$ ve $KEAF$ dörtgenleri birer kirişler dörtgenidir. (Karşılıklı açılarının ölçüleri bütünler)
$EKDC$ kirişler dörtgeni yardımıyla, $m(\widehat{DEK})=\alpha$, $KEAF$ kirişler dörtgeni yardımıyla da $m(\widehat{FAK})=\alpha$ olduğu görülür. Bu durumda $DEF$ üçgeninde $EK$ iç açıortaydır.
$EKDC$ kirişler dörtgeni yardımıyla $m(\widehat{EDK})=\beta$, $BDKF$ kirişler dörtgeni yardımıyla da $m(\widehat{FDK})=\beta$ olduğu görülür. Bu durumda $DEF$ üçgeninde $DK$ iç açıortaydır.
Üçgende iç açıortaylar bir noktada kesiştiği için $DEF$ üçgeninde $FK$ da iç açıortaydır. O halde $K$ noktası $DEF$ üçgeninin iç teğet çemberinin merkezidir.
Şimdi de geniş açılı bir üçgenin ortik üçgenini inceleyelim. Geniş açılı bir üçgenin diklik merkezinin, ortik üçgeninin dış teğet çemberinin merkezi olduğunu gösterelim:
Yukarıdaki görsele dikkat edersek; $m(\widehat{AKC})>90^{\circ}$ olup, $AKC$ üçgeni geniş açılı bir üçgendir. $AKC$ geniş açılı üçgeninin yüksekliklerinin doğrultuları $B$ noktasında kesişmektedir, yani $B$ noktası $AKC$ üçgeninin diklik merkezidir.
$AKC$ üçgeninin yükseklik ayakları $D$, $E$, $F$’dir. Bu da demek oluyor ki geniş açılı üçgenimizin ortik üçgeni $DEF$ üçgenidir. $ED$ ve $EF$’yi uzatırsak, $FB$ ve $DB$’nin açıortay olduğu görülür.
$DEF$ üçgeninde $FB$, $DB$ dış açıortay, $EB$ iç açıortay olup, B noktasında kesiştikleri için, $B$ noktası $DEF$ ortik üçgeninin dış teğet çemberinin merkezidir.
# Ortik üçgeni ile ilgili güzel bir problem için buraya tıklayabilirsiniz.
“Ortik Üçgeni” için 3 yanıt