Parabolün dik kesişen teğetleri

Parabolün dik kesişen teğetlerinin kesişme noktalarının geometrik yerinin, bu parabolün doğrultman doğrusu olduğunu gösteriniz.

$x^2=2py $ parabolü için bu geometrik yerin $$y= -\frac{p}{2}$$

$y^2=2px $ parabolü için bu geometrik yerin $$x= -\frac{p}{2}$$ doğrusu olduğunu gösteriniz.

Kanıt:

$x^2=2py$
parabolünün dik kesişen teğetlerinden herhangi ikisinin kesiştiği nokta $A(x_{0},y_{0})$ olsun.

Bu teğet doğrularının eğimleri de $m_{1}$ ve $m_{2}$ olsun.

O halde bu teğet doğrularının denklemleri

$y=m_{1}(x-x_{0})+y_{0}$$y=m_{2}(x-x_{0})+y_{0}$Bu teğet doğrularının denklemlerini genel olarak

$y=m(x-x_{0})+y_{0}$olarak yazabiliriz.

Parabol ve teğet doğruları tek bir noktada kesiştikleri için kesişme noktalarını veren denklemin tek kökü olmalı.

Yani parabol ve teğet doğrularının denkleminin ortak çözümünün diskriminantı 0 olmalı. $\left( \Delta =0\right)$

$x^2=2py$ parabolü ve $y=m(x-x_{0})+y_{0}$ doğrusu için ortak çözüm yaparsak:

$$x^2=2p(m(x-x_{0})+y_{0})$$
$$x^2-2pmx+2pmx_{0}-2py_{0}=0$$
$$\Delta =0 \Rightarrow$$

$$4p^{2}m^{2}-4(2pmx_{0}-2py_{0})=0$$

$$p^{2}m^{2}-2px_{0}m+2py_{0}=0 \quad(I)$$

$m$’ye bağlı bu ikinci dereceden denklemin kökleri teğetlerin eğimleri olan $m_{1}$ ve $m_{2}$’yi verir.

Teğet doğruları birbirlerine dik olduğu için

$m_{1}m_{2}=-1$$(I) $ denklemde kökler çarpımından da

$$m_{1}m_{2}= \frac{2y_{0}}{p}$$bulunur.

O halde

$$ \frac{2y_{0}}{p} = -1 $$$$\Rightarrow y_{0}=\frac{-p}{2}$$

$y_{0}$ dik kesişen teğetlerin kesiştiği noktanın ordinatı olup, her zaman $\frac{-p}{2}$ ‘ye eşittir.

Dolayısıyla dik kesişen teğetler $$y=\frac{-p}{2}$$ doğrusu üzerinde kesişir.

GÖRSEL

$y^2=2px$ parabolü için de aynı çözüm metodunu kullanalım:

$$y^2=2px \quad \Rightarrow\quad x= \frac{y^{2}}{2p}\quad, \quad y=m(x-x_{0})+y_{0} $$$$y=m(\frac{y^{2}}{2p}-x_{0})+y_{0}$$

$$y=\frac{my^{2}}{2p}-mx_{0}+y_{0}$$

$$my^{2}-2py-2pmx_{0}+2py_{0}=0$$

$$\Delta =0 \Rightarrow $$

$$4p^{2}-4m(2py_{0}-2pmx_{0})=0$$

$$2px_{0}m^{2}-2py_{0}m+p^{2}=0$$

$$\frac{p^{2}}{2px_{0}}=-1$$

$$\Rightarrow x_{0}=\frac{-p}{2}$$

$x_{0}$ dik kesişen teğetlerin kesiştiği noktanın apsisi olup, her zaman $\frac{-p}{2}$ ‘ye eşittir.

Dolayısıyla dik kesişen teğetler $$x=\frac{-p}{2}$$ doğrusu üzerinde kesişir.

# Hiperbolün dik kesişen teğetlerinin kesim noktalarının geometrik yeri için buraya tıklayınız.
# Elipsin dik kesişen teğetlerinin kesim noktalarının geometrik yeri için buraya tıklayınız.