[Problem]: Diklik ve Çevrel Çember Merkezi

İleride bahsedeceğimiz Euler Doğrusu‘nun anlaşılmasında önemli bir yeri olan güzel bir problem / önsav.

Bir $ABC$ üçgeninin çevrel çemberinin merkezi $O$, diklik merkezi $H$ olsun.

$O$ noktasından $BC$ kenarına inen dikme ayağı da $D$ olsun.

$\left | AH \right |=2\left | OD \right |$ olduğunu gösteriniz.

Çözüm:

$AH$ doğrusunun $BC$ doğrusunu kestiği nokta $M$ olsun.
$H$ noktası diklik merkezi olduğu için $AM \perp BC$’dir.
$O$ noktası çevrel çemberin merkezi olduğu için $\left | BD \right | = \left | DC \right |$’dir.

$ABC$ üçgeninin çevrel çemberini çizelim.

$B$ ve $O$ noktasından geçen çapı çizelim, bu doğrunun çevrel çemberi kestiği nokta $K$ olsun. $BKC$ üçgenine dikkat edilirse, $BK$ çap olup $m(\widehat{BCK}) = 90^{\circ}$’dir.

$CK \perp BC$, $\quad \left | BO \right |=\left | OK \right |$

Bu durumda $\left | BO \right |=\left | OK \right |$ ve $ AM//OD//KC \quad (I)$

$OD$ doğru parçası, $BKC$ üçgeninde orta taban olduğu için $ \left | KC \right |=2\left | OD \right |$

Şimdi de çözümün ikinci kısmına geçelim:

$AK$ doğru parçasını çizersek, $[BK]$ çap olduğu için $m(\widehat{BAK}) = 90^{\circ}$

$CH$ doğrusunu çizelim, bu doğrunun $AB$ kenarını kestiği nokta $T$ olsun. $H$ diklik merkezi olduğu için $CT \perp AB$

$AK \perp AB$ ve $CT \perp AB \quad \Rightarrow \quad AK // CT \quad (II)$

$(I)$ ve $(II)$’den $AHCK$ bir paralelkenardır. O halde $\left | AH \right |=\left | KC \right |$ olup,

$\left | AH \right |=2\left | OD \right |$’dir.