Simson Doğrusu

ABC üçgeninin çevrel çemberi üzerindeki bir noktadan üçgenin kenarlarına veya kenar doğrultularına indirilen dikme ayakları doğrudaştır ve bu noktalardan geçen doğruya Simson Doğrusu denir.

$ABC$ üçgeninin çevrel çemberi üzerindeki bir noktadan üçgenin kenarlarına veya kenar doğrultularına indirilen dikme ayakları doğrudaştır ve bu noktalardan geçen doğruya Simson Doğrusu denir.

Herhangi bir $ABC$ üçgeninin çevrel çemberi üzerindeki bir $P$ noktasından, üçgenin kenarlarına (kenar doğrultularına) indirilen dikme ayakları doğrusal / doğrudaş olduğunu gösteriniz.

$ABC$ üçgeninin çevrel çemberi üzerinde bir $P$ noktası seçelim. $P$ noktasından; $AC$ kenarına çizilen dikme ayağı $L$, $BC$ kenarına çizilen dikme ayağı $M$ olsun. $L$ ve $M$ noktalarından geçen doğrunun $AB$-doğrusunu kestiği nokta $K$ olsun.

P noktası, herhangi bir ABC üçgeninin çevrel çemberi üzerinde keyfi bir nokta olmak üzere, üçgenin iki kenarına çizdiğimiz dikme ayaklarını L ve M olarak isimlendirdik.

$P$ noktası, herhangi bir $ABC$ üçgeninin çevrel çemberi üzerinde keyfi bir nokta olmak üzere, üçgenin iki kenarına çizdiğimiz dikme ayaklarını $L$ ve $M$ olarak isimlendirdik.

Kanıt:

$ALPK$ dörtgeninin kirişler dörtgeni olduğunu gösterirsek $PK \perp AB$ olduğunu dolayısıyla $K$, $L$, $M$ noktalarının doğrusal olduğunu göstermiş oluruz.

Öncelikle $[PC]$’yi çizelim. $PLMC$ dörtgeninde, $m(\widehat{PLC})=m(\widehat{PMC})$ olduğu için $LMPC$ dörtgeni kirişler dörtgenidir.
O halde

$m(\widehat{MLC})=m(\widehat{MPC}) = \theta^{\circ}$, $m(\widehat{LPM})=m(\widehat{LCM})=\beta^{\circ}$, $m(\widehat{LMP})=m(\widehat{LCP})=\alpha^{\circ} $

$\alpha +\beta +\theta = 90^{\circ}$ olup, $m(\widehat{ALK}) = \theta^{\circ}$, $m(\widehat{KLP}) = (\alpha + \beta)^{\circ}$

olduğu görülür.

PLC ve PMC açılarının ölçüleri eşit olduğu için LMCP bir kirişler dörtgenidir.

$PLC$ ve $PMC$ açılarının ölçüleri eşit olduğu için $LMCP$ bir kirişler dörtgenidir. Açı ölçülerini yazdığımızda $PCM$ ve $KLP$ açılarının ölçülerinin eşit olduğu görülür.

$[AP]$ doğru parçasını çizelim. $ABCP$ bir kirişler dörtgenidir.

$m(\widehat{CAP})=x^{\circ} \Rightarrow m(\widetilde{PC})=2x^{\circ}$ ve $m(\widehat{ACP})=\alpha ^{\circ} \Rightarrow m(\widetilde{AP})=2\alpha^{\circ}$
$m(\widetilde{APC}) = (2\alpha+2x)^{\circ} \Rightarrow m(\widehat{ABC})=(\alpha+x)^{\circ}$

[AP] doğru parçasını çizip, açı ölçüleri yazıldığında AP ve PC yaylarınının ölçüleri bulunur. Bu yay ölçüleri yardımıyla da ABC açısının ölçüsü bulunur.

$[AP]$ doğru parçasını çizip, açı ölçüleri yazıldığında $AP$ ve $PC$ yaylarınının ölçüleri bulunur. Bu yay ölçüleri yardımıyla da $ABC$ açısının ölçüsü bulunur.

$m(\widehat{KAL})=m(\widehat{ABC})+m(\widehat{ACB}) \Rightarrow m(\widehat{KAL})= (\alpha + \beta +x)^{\circ}$’dir. $m(\widehat{APL})=x^{\circ} $ olduğu için $m(\widehat{PAK})=(\alpha + \beta)^{\circ}$ ‘dir.

ABC açısının ölçüsü bulunduktan sonra KAP açısının ölçüsü bulunur. KAP açısının ölçüsü ve KLP açısının ölçüsü eşit olduğu görülür. Bu da ALPK dörtgeninin kirişler dörtgeni olduğunu gösterir. O halde PK doğrusu AB doğrusuna diktir.

$ABC$ açısının ölçüsü bulunduktan sonra $KAP$ açısının ölçüsü bulunur. $KAP$ açısının ölçüsü ve $KLP$ açısının ölçüsü eşit olduğu görülür. Bu da $ALPK$ dörtgeninin kirişler dörtgeni olduğunu gösterir. O halde $PK \perp AB$’dir.

$m(\widehat{PAK})=m(\widehat{PLK})$ olduğu için $ALPK$ kirişler dörtgenidir. $ALPK$ kirişler dörtgeni ve $m(\widehat{ALP})=90^{\circ}$ olduğuna göre $m(\widehat{PKA})=90^{\circ}$ yani $PK \perp AB$’dir.

Sonuç olarak $P$ noktasından $ABC$ üçgeninin kenarlarına çizilen dikme ayaklarının ($K$, $L$, $M$) doğrusal olduğu görülür.

GÖRSEL:

Simson doğrusundan kısa bir kesit. Çevrel çember üzerindeki P noktası hareket ettikçe K, L, M noktalarının doğrusallığının bozulmadığını görebilirsiniz.

Simson doğrusundan kısa bir kesit. Çevrel çember üzerindeki $P$ noktası hareket ettikçe $K$, $L$, $M$ noktalarının doğrusallığının bozulmadığını görebilirsiniz.

Bir cevap yazın

E-posta hesabınız yayımlanmayacak. Gerekli alanlar * ile işaretlenmişlerdir

Time limit is exhausted. Please reload the CAPTCHA.