Sinüs Teoremi - Geometridefteri.com

$O$ merkezli, $r$ yarıçaplı çember $ABC$ üçgeninin çevrel çemberidir.

Bir $ABC$ üçgeninin çevrel çemberinin yarıçapı $r$ olmak üzere;

$\Large \frac{\left | BC \right |}{Sin\widehat{A}} = \frac{\left | AC \right |}{Sin\widehat{B}} = \frac{\left | AB \right |}{Sin\widehat{C}} = $ $2r$olduğunu gösteriniz.

Kanıt:

$[BO]$ doğru parçasını doğrultusunu bozmadan uzatalım, çemberi kestiği noktaya $P$ noktası diyelim.
Bu durumda $[BP]$ çemberin çapıdır.
Çapı gören çevre açı $90^{\circ}$ olduğu için $m(\widehat{BAP})=90^{\circ}$ ve $m(\widehat{BCP})=90^{\circ}$’dir.

$\widehat{BAC}$ ve $\widehat{BPC}$ açıları aynı yayı gören çevre açılar olduğu için $m(\widehat{BAC}) = m(\widehat{BPC})$’dir.
Benzer şekilde $m(\widehat{BCA}) = m(\widehat{BPA})$ olduğu görülür.

Çevrel çemberin çapını çizdiğimizde, aynı yayı gören çevre açıların ölçüleri eşitliğinden BAC ve BPC açılarının ölçüleri eşittir. APB ve ACB açılarının ölçüleri de eşittir. — Çevrel çemberin çapını çizdiğimizde, aynı yayı gören çevre açıların ölçüleri eşitliğinden $BAC$ ve $BPC$ açılarının ölçüleri eşittir. $APB$ ve $ACB$ açılarının ölçüleri de eşittir.

$PBC$ dik üçgenine dikkat edersek,

$Sin\widehat{A} = \Large \frac{\left |BC \right |}{2r}$ $\Rightarrow \Large \frac{\left | BC \right |}{Sin\widehat{A}} =$ $2r$$PAB$ dik üçgenine dikkat edersek,

$Sin\widehat{C} =\Large \frac{\left |AB \right |}{2r}$ $\Rightarrow \Large \frac{\left | AB \right |}{Sin\widehat{C}} =$ $2r$olduğu görülür.

Son olarak $A$ ve $O$ noktalarından geçen veya $C$ ve $O$ noktalarından geçen çap çizilirse, benzer metodla

$\Large \frac{\left | AC \right |}{Sin\widehat{B}} =$ $2r$Bu eşitlikleri bir araya getirdiğimizde

$\Large \frac{\left | BC \right |}{Sin\widehat{A}} = \frac{\left | AC \right |}{Sin\widehat{B}} = \frac{\left | AB \right |}{Sin\widehat{C}} = $ $2r$sonucuna varılır.

“Sinüs Teoremi” için 3 yanıt

Siz derste ne kadar anlatsanızda benim kalın kafam almayacak galiba . Ama anlatımlar cok basarılı ..

Yanıtla

Harika bir öğretmenden harika bir çalışma Teşekkürler

Yanıtla

Bir başka ispat biçimi de şöyledir. Trigonometrik alan formulunden
Alan (ABC) =S =1/2 abSinC = 1/2 acSinB =1/2 bcSinA dan 2 ile çarparsak
2S = abSinC =acSinB = bcSinA her tarafı a.b.c ile bölersek
SinC/c = SinB /b = SinA/a olur ters çevirirsek
c/sinC = b/SinB = a/SinA olur Buda sin teoremidir.

Yanıtla

“Sinüs Teoremi” için 3 yanıt

Bir yanıt yazın Yanıtı iptal et