Sinüs Teoremi

$O$ merkezli, $r$ yarıçaplı çember $ABC$ üçgeninin çevrel çemberidir.

$O$ merkezli, $r$ yarıçaplı çember $ABC$ üçgeninin çevrel çemberidir.

Bir $ABC$ üçgeninin çevrel çemberinin yarıçapı $r$ olmak üzere;

$\Large \frac{\left | BC \right |}{Sin\widehat{A}} = \frac{\left | AC \right |}{Sin\widehat{B}} = \frac{\left | AB \right |}{Sin\widehat{C}} = $ $2r$
olduğunu gösteriniz.

Kanıt:

$[BO]$ doğru parçasını doğrultusunu bozmadan uzatalım, çemberi kestiği noktaya $P$ noktası diyelim.
Bu durumda $[BP]$ çemberin çapıdır.
Çapı gören çevre açı $90^{\circ}$ olduğu için $m(\widehat{BAP})=90^{\circ}$ ve $m(\widehat{BCP})=90^{\circ}$’dir.

$\widehat{BAC}$ ve $\widehat{BPC}$ açıları aynı yayı gören çevre açılar olduğu için $m(\widehat{BAC}) = m(\widehat{BPC})$’dir.
Benzer şekilde $m(\widehat{BCA}) = m(\widehat{BPA})$ olduğu görülür.

Çevrel çemberin çapını çizdiğimizde, aynı yayı gören çevre açıların ölçüleri eşitliğinden BAC ve BPC açılarının ölçüleri eşittir.  APB ve ACB açılarının ölçüleri de eşittir.

Çevrel çemberin çapını çizdiğimizde, aynı yayı gören çevre açıların ölçüleri eşitliğinden $BAC$ ve $BPC$ açılarının ölçüleri eşittir. $APB$ ve $ACB$ açılarının ölçüleri de eşittir.

$PBC$ dik üçgenine dikkat edersek,

$Sin\widehat{A} = \Large \frac{\left |BC \right |}{2r}$ $\Rightarrow \Large \frac{\left | BC \right |}{Sin\widehat{A}} =$ $2r$
$PAB$ dik üçgenine dikkat edersek,

$Sin\widehat{C} =\Large \frac{\left |AB \right |}{2r}$ $\Rightarrow \Large \frac{\left | AB \right |}{Sin\widehat{C}} =$ $2r$
olduğu görülür.

Son olarak $A$ ve $O$ noktalarından geçen veya $C$ ve $O$ noktalarından geçen çap çizilirse, benzer metodla

$\Large \frac{\left | AC \right |}{Sin\widehat{B}} =$ $2r$
Bu eşitlikleri bir araya getirdiğimizde

$\Large \frac{\left | BC \right |}{Sin\widehat{A}} = \frac{\left | AC \right |}{Sin\widehat{B}} = \frac{\left | AB \right |}{Sin\widehat{C}} = $ $2r$
sonucuna varılır.

Comments

  1. By Sefalet içinde yaşayan bir liseli

    Cevapla

  2. By Ersin KOÇ

    Cevapla

  3. Cevapla

Bir cevap yazın

E-posta hesabınız yayımlanmayacak. Gerekli alanlar * ile işaretlenmişlerdir

Time limit is exhausted. Please reload the CAPTCHA.