Trigonometrik Ceva Teoremi

$ \frac{Sin(\widehat{PAB})}{Sin(\widehat{PBA})}.\frac{Sin(\widehat{PBC})}{Sin(\widehat{PCB})}.\frac{Sin(\widehat{PCA})}{Sin(\widehat{PAC})} =$$ 1$olduğunu gösteriniz.

Kanıt:

Sinüs teoreminden faydalanarak Trigonometrik Ceva Teoremi’ni kanıtlayalım.

$PAB$ üçgeninde sinüs teoremi uygularsak;

$ \Large \frac{\left | BP \right |}{sin\alpha} = \frac{\left | AP \right | }{sinx}$$PBC$ üçgeninde sinüs teoremi uygularsak;

$ \Large \frac{\left | PC \right |}{sin\beta} = \frac{\left | BP \right | }{siny}$$PBC$ üçgeninde sinüs teoremi uygularsak;

$ \Large \frac{\left | AP \right |}{sin\theta} = \frac{\left | PC \right | }{sinz}$bulunur.

Eşitlikleri taraf tarafa çarparsak

$ \Large \frac{\left | BP \right |}{sin\alpha}.\frac{\left | PC \right |}{sin\beta}.\frac{\left | AP \right |}{sin\theta} = \frac{\left | AP \right | }{sinx}.\frac{\left | BP \right | }{siny}.\frac{\left | PC \right | }{sinz}$

$\Rightarrow sin \alpha.sin \beta .sin\theta = sinx. siny. sinz$veya

$\Large \frac{sin\alpha }{sinx}.\frac{sin\beta }{siny}.\frac{sin\theta }{sinz} =$$ 1$veya

$ \frac{Sin(\widehat{PAB})}{Sin(\widehat{PBA})}.\frac{Sin(\widehat{PBC})}{Sin(\widehat{PCB})}.\frac{Sin(\widehat{PCA})}{Sin(\widehat{PAC})} =$$ 1$

sonucuna ulaşılır.

UYGULAMA:

Trigonometrik Çözüm:

$ABC$ üçgeninde açı ölçülerini yerleştirdiğimizde $m(\widehat{BPA})= (20-\alpha)^{\circ}$ yazabiliriz.

Trigonometrik Ceva Teoreminden faydalanırsak,

$sin40^{\circ}. sin(20-\alpha^{\circ}). sin30^{\circ} = sin\alpha. sin20^{\circ}. sin70^{\circ}$

$2sin20^{\circ}. cos20^{\circ}. sin(20-\alpha^{\circ}).$ $\Large \frac{1}{2}$ = $sin\alpha. sin20^{\circ}. sin70^{\circ}$

$cos20^{\circ}. sin(20-\alpha^{\circ}) =sin\alpha. sin70^{\circ}$

$sin(20-\alpha^{\circ}) =sin\alpha$

$ \Rightarrow 20-\alpha = \alpha$

$ \Rightarrow \alpha = 10^{\circ}$

sonucuna ulaşırız.

Sentetik Çözüm:

$APC$ üçgeninin $AC$’ye göre simetriği $AKC$ üçgenidir. ($40^{\circ}-70^{\circ}-70^{\circ}$ -> $B$, $A$, $K$ doğrusaldır.)

$BCA$ ve $ACK$ açılarının ölçüleri eşit, $30^{\circ}$ ve $\left | PC \right |=\left | KC \right |$ olduğu için $KPC$ eşkenar üçgendir. $\left | PC \right |=\left | KC \right |=\left | KP \right |$’dir.

$PBK$ ve $PBC$ üçgenlerinin eş üçgenler olduğu görülür. ($BP$ simetri ekseni)

O halde $KBP$ ve $PBC$ açılarının ölçüleri eşit olup, $\alpha=10^{\circ}$’dir.