Elipsin dik kesişen teğetleri (Monj Çemberi)

Elipsin dik kesişen teğetlerinin kesişme noktalarının geometrik yerinin, bir çember (monj çemberi) olduğunu gösteriniz.
$$ \frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}} = 1$$ elipsi için bu geometrik yerin
$$x^{2}+y^{2} = a^{2}+b^{2}$$
çemberi olduğunu gösteriniz.

Kanıt:

Öncelikle
$$ \frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}} = 1$$ elipsi ile $y=mx+n$ doğrusunun teğet olma şartının $$a^{2}m^{2}+b^{2}-n^{2}=0$$ olduğunu gösterelim.

Elip ve doğru tek bir noktada kesiştikleri için kesişme noktasını veren denklemin tek kökü olmalı.
Yani elips ve doğru denkleminin ortak çözümünün diskriminantı 0 olmalı. $\left( \Delta =0\right)$

$$\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}} = 1$$ elipsi ve $y=mx+n$ doğrusu için ortak çözüm yaparsak:
$$\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{(mx+n)^{2}}{b^{2}}=1$$
$$b^{2}x^{2}+a^{2}(mx+n)^{2}-a^{2}b^{2}=0$$
$$b^{2}x^{2}+a^{2}m^{2}x^{2}+2a^{2}mnx+n^{2}-a^{2}b^{2}=0$$
$$(a^{2}m^{2}+b^{2})x^{2}+2a^{2}mnx+n^{2}-a^{2}b^{2}=0$$
$$\Delta = (2a^{2}mn)^{2}-4(a^{2}m^{2}+b^{2})(n^{2}-a^{2}b^{2})=0$$
$$\Rightarrow a^{2}m^{2}+b^{2}-n^{2}=0 \quad (I)$$

Şimdi de dik kesişen teğetlerin kesişme noktalarının geometrik yerini bulalım:

$$\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}} = 1$$
elipsinin dik kesişen teğetlerinden herhangi ikisinin kesiştiği nokta $A(x_{0},y_{0})$ olsun.

Bu teğet doğrularının eğimleri de $m_{1}$ ve $m_{2}$ olsun.

O halde bu teğet doğrularının denklemleri

$y=m_{1}(x-x_{0})+y_{0}$$y=m_{2}(x-x_{0})+y_{0}$Bu teğet doğrularının denklemlerini genel olarak

$y=m(x-x_{0})+y_{0}$olarak yazabiliriz.

$y=m(x-x_{0})+y_{0}$ ve $y=mx+n$ denklemlerini birbirlerine eşitlersek,

$n = -mx_{0}+y_{0}$ yazabiliriz.

$(I)$ denkleminde $n = -mx_{0}+y_{0}$ yazarsak:

$$a^{2}m^{2}+b^{2}-(-mx_{0}+y_{0})^{2}=0$$
$$a^{2}m^{2}+b^{2}-m^{2}x_{0}^{2}+2mx_{0}y_{0}-y_{0}^{2}=0$$
$$(a^{2}-x_{0}^{2})m^{2}+2mx_{0}y_{0}+b^{2}-y_{0}^{2}=0 \quad (II)$$

$m$’ye bağlı bu ikinci dereceden denklemin kökleri teğetlerin eğimleri olan $m_{1}$ ve $m_{2}$’yi verir.

Teğet doğruları birbirlerine dik olduğu için

$$m_{1}m_{2}=-1$$

$(II)$ denklemde kökler çarpımından da

$$m_{1}m_{2}= \frac{b^{2}-y_{0}^{2}}{a^{2}-x_{0}^{2}}$$bulunur.

O halde

$$ \frac{b^{2}-y_{0}^{2}}{a^{2}-x_{0}^{2}} = -1 $$$$\Rightarrow x_{0}^{2}+y_{0}^{2} = a^{2}+b^{2}$$

$x_{0}$ ve $y_{0}$ dik kesişen teğetlerin kesiştiği noktanın apsis ve ordinatı olup, her zaman bu eşitlik geçerlidir.

Dolayısıyla dik kesişen teğetler $$x^{2}+y^{2} = a^{2}+b^{2}$$ çemberi üzerinde kesişir ve bu çember monj (monge) çemberi diye anılır.

GÖRSEL:

# Hiperbolün dik kesişen teğetlerinin kesim noktalarının geometrik yeri için buraya tıklayınız.
# Parabolün dik kesişen teğetlerinin kesim noktalarının geometrik yeri için buraya tıklayınız.